Siamo in baita e salendo pensavamo che tra un mese sarà Natale. Forse domani si potrebbe cominciare a preparare gli addobbi natalizi. Potrebbe essere l’attività giusta visto che è prevista una giornata grigia piovosa. ora la baita è ben calda, dopo un pomeriggio di stufa al massimo.
Oggi ho giocato ancora con i numeri di Fibonacci e le loro rappresentazioni con frazioni continue. Ho dovuto fare un bel po’ di esperimenti per imparare a utilizzare il foglio elettronico per tabulare e calcolare questo tipo di frazioni. Non ci sono funzioni predefinite o per lo meno non ne ho trovate. Anche la loro rappresentazione scritta non è semplice. Sono una cosa del genere:
e per imparare a scriverla qui ho dovuto impegnarci un po’ di tempo. Notare che i due numeri e sono due numeri di Fibonacci consecutivi e la frazione continua che ne risulta è finita, ma molto lunga perché i numeri che vi compaiono sono praticamente tutti degli “1”. Questa è una proprietà dei numeri di Fibonacci e la frazione continua infinita (che non termina mai) con tutti “1” rappresenta il famoso Numero Aureo.
Oggi abbiamo avuto le bimbe: Nora dal mattino e Ada nel pomeriggio dopo l’asilo. Sono state molto brave e divertenti.
Un paio di giorni fa, parlando della sequenza di Fibonacci, ho concluso promettendo ritornare su un numero importante che è collegato ad essa, cimato Sezione Aurea o Numero Aureo. Se cercate questo nome in Internet troverete miglia e migliaia di pagine (in inglese “golden ratio” mi dà 290 milioni di pagine), tra le quali si possono trovare trattazioni rigorose o storie fantasiose, a volte anche mischiate nelle stesse pagine. Questo numero ha infatti una storia antica ed è considerato il numero che esprime la “perfetta” proporzione tra i due alti di un rettangolo. Cosa si debba poi intendere per perfetta è questione cui sono dedicate alcune centinaia di migliaia di quelle pagine.
La figura qui sopra rappresenta uno di questi rettangoli. Per costruirlo siamo partiti da un quadratoABCD (qui con il lato di lunghezza unitaria) e si è costruito il rettangolo prendendo un punto E a metà del lato DC e riportando la distanza EB fino nel punto F. Il rettangolo AHFD è un Rettangolo Aureo, nel senso che il rapporto tra suoi lati AH e AD è pari al numero Aureo. Forse non vi sembrerà un rettangolo così speciale, ma in effetti ha diverse proprietà interessanti. La più notevole è che, se si toglie dimezzo il quadrato azzurro, il rettangolo che BHFC che rimane è ancora un rettangolo aureo, cioè anche i lati FH e BH sono in rapporto aureo tra loro. E si può procedere allo stesso modo, togliendo da questo rettangolo un quadrato e ottenendo ancora un rettangolo aureo e così all’infinito… E in modo analogo si possono ottenere rettangoli aurei più grandi, aggiungendo un quadrato sul lato più lungo del rettangolo.
Questo numero o rapporto Aureo si può calcolare (non dico come per ora) e sia trova che è un numero che vale circa 1,61803398… (con una ulteriore serie infinita di cifre decimali). E si scopre che dividendo un numero della sequenza di Fibonacci con il suo precedente si trova un numero che si avvicina questo rapporto Aureo in modo sempre più preciso. Se vi ricordate i numeri della sequenza sono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ,….. e i rapporti (a parte i primi)sono:
Nei giorni scorsi a Torino siamo passati più volte sotto la Mole Antonelliana. Di notte era illuminata con grandi immagini pubblicitarie del torneo di tennis organizzato in quei giorni, ma un paio di volte abbiamo avuto modo di vedere i primi numeri della successione di Fibonacci. Una volta c’era anche un gruppo di turisti con una guida che parlava di questi numeri. Mentre osservavamo i numeri con l’amico Giuseppe, approfittando della sua cultura artistica gli ho chiesto se sapeva quale significato avessero in relazione alla Mole. Una rapida consultazione di Google ci ha informati che numeri erano stati installati nel 1998 dall’artista Mario Merz, che Giuseppe conosceva bene, secondo lui li dava messi lì semplicemente perché gli piacevano ma senza un legame particolare con l’architettura della Mole. Non ho poi approfondito, ma in effetti questi numeri compaiono piuttosto spesso con interpretazioni artistiche più o meno fantasiose, ma non prive di fondamento.
la successione di Fibonacci è costruita con una regola molto semplice. Si parte dai numeri 0 e 1 e poi, ogni numero successivo è la somma dei due che lo precedono. Quindi i primi numeri sono : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 55,….. ecc. Sembra che Fibonacci li abbia scoperti cercando il numero di coppie di conigli che si sarebbe ritrovato in casa dopo un anno, partendo da una singola coppia, sapendo che ogni coppia genera sempre un’altra coppia dopo due mesi. La situazione è illustrata da questa figura (tratta da questo bell’articolo in inglese). Lasciamo come esercizio di trovare quante coppie ci sono dopo 12 mesi (ed eventualmente anche di scoprire come mai Fibonacci avesse problemi di questo genere).
Il fatto che eccita la fantasia di artisti oltre che di matematici è che questa sequenza di numeri si ritrova diverse volte in natura, in alcune disposizioni di foglie attorno a un ramo, o di semi, come nel caso delle pigne. Guardando queste immagini, ad esempio si vede che le brattee della pigna contenenti i semi si dispongono secondo spirali, avvolte in senso orario e antiorario. E la stessa cosa succede per i semi dentro i girasole.
Contando queste spirali, come si può vedere nel sito da cui è tratta l’immagine della pigna , ci si accorge che i due numeri sono sempre due numeri di Fibonacci successivi. In questo caso 8 spirali in senso orario e 13 in senso antiorario. E la situazione è simile per il girasole (come spiegato qui).
Come mai succede questo? In realtà non lo sappiamo, o per lo meno non conosciamo il meccanismo biofisico che produce questo risultato. Ma sappiamo che questa disposizione è quella che assicura il miglior utilizzo dello spazio a disposizione, in modo da mettere più semi possibili senza avere zone vuote. E questa disposizione ottima è legata al fatto che il rapporto tra due numeri di Fibonacci successivi tende ad approssimare un altro numero molto particolare, chiamato Sezione Aurea. Ma di questo parleremo la prossima volta.
altolago 